Konsep Dasar Dan Cara Menuntaskan Persamaan Nilai Mutlak - Matematika Wajib Kelas X

Pada kesempatan ini, m4th-lab akan membahas materi matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yaitu mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh pada goresan pena ini akan di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, dan beberapa cara menuntaskan persamaan nilai mutlak dilengkapi teladan soal beserta pembahasannya. Semoga goresan pena ini sanggup membantu adik-adik yang sedang mempelajari nilai mutlak.

Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan

Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") sanggup diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 pada suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan teladan sederhana berikut:

Contoh:

$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Persamaan nilai mutlak di atas sanggup diselesaikan dengan memakai konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 pada garis bilangan. 

$\left | x\right |=4$ sanggup diartikan "berapa nilai $x$ yang memenuhi yang berjarak 4 dari 0 pada garis bilangan?". Maka akan kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 dan dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:

Dari gambar diatas, terlihat nilai yang berjarak 4 dari nol yakni $4$ dan $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yang memenuhi yakni $x=4$ atau $x=-4$.

Konsep tersebut sanggup kita perluas, sehingga sanggup kita gunakan untuk menuntaskan nilai mutlak yang melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:

untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, dan $k$ bilangan real positif, berlaku: 
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$ 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:

$\left | 2x-1\right |=5 $

Jawab:

$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$

Definisi Nilai Mutlak

Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, sanggup kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai faktual (ingat, jarak mustahil negatif). Makara $|x|$ kalau $x$ positif, maka $|x|=x$ dan kalau $x$ negatif, maka $|x|=-x$, atau definisi secara umum sanggup ditulis:

Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yang dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ kalau } x\geq0 \\ -x & \text{ kalau } x< 0 \end{cases}$

untuk memahaminya, perhatikan beberapa teladan berikut:

$|0|=0$

$|9|=9$

$|-9|=-(-9)=9$

$|150|=150$

$|-150|=-(-150)=150$

$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:

1. $\left | -x \right|=\left | x\right |$
2. $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
3. $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
4. $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
5. $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
6. $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
7. $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
8. $|x|-|y|\leq |x-y|$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ dan untuk $x=-2$!

Jawab:

untuk $x=3$

$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$

untuk $x=-2$

$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$

---

Contoh 2:

Diketahui $f(x)=|2x-1|$ dan $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?

Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left |  |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$

---

Contoh 3:

Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ yakni ....

Jawab:

untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$

sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ yakni ....

Jawab:

untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$

sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$

---

Contoh 5:

Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ yakni ....

Jawab:

$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$

Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:

$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$

$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$

$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\left \{-6,2 \right\}$

---

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ yakni ....

Jawab:

Pembuat nol nilai mutlak di atas yakni $x=2$ dan $x=7$, dengan demikian untuk menuntaskan soal tipe ia atas, akan kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ dan $x > 7$.

untuk $x < 2$

untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$

untuk $2 <  x  < 7$

untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{           memenuhi}\end{align*}$

untuk $x \gt 7$

untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{     tidak memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\{ 3 \}$

---

Contoh 7:

Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ yakni ....

Jawab:

Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas niscaya bernilai positif, maka bentuk ini sanggup diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$

jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas yakni $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$

---

Contoh 8:

Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ yakni ....

Jawab:

$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$

Berbeda dengan teladan 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melaksanakan analisis nilai $x$ dan memakai definisi nilai mutlak.

pembuat nol nilai mutlak yakni $x=4$, maka akan kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ dan $x\gt 4$.

untuk $x\lt 4$

untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$

karena $x=3$ terletak pada interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.

untuk $x\gt 4$

untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$

$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$

karena $x=\frac{13}{3}$  terletak pada interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $

Setelah anda mempelajari beberapa teladan soal dan pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yang kami bagikan pada link di bawah ini sebagai materi latihan sanggup bangun diatas kaki sendiri untuk mengasah pemahaman dan keterampilan materi persamaan nilai mutlak:

Download Soal Persamaan Nilai Mutlak

---

Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa teladan soal dan pembahasan dengan banyak sekali tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), kalau klarifikasi di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan materi dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal dan pembahasan.

jangan lupa subscribe channel YouTube kami untuk video pembelajaran matematika gratis di https://yutube.com/m4thlab.

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Share this post